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谈谈“熵”

谈谈“熵”

Entropy)在物理学中用于度量一个热力学系统的无序或混乱程度(参考热力学第二定律),当它被引入到信息论(计算机科学)时,则被用来衡量信息的不确定性(不可预测性),简单的说也就是“随机性”。

假设有一枚“理想”的硬币(抛出正面和反面的几率相等),每一次抛硬币都是独立的、不可预测的,其结果不是正面、就是反面(0和1),那么这个抛硬币事件的熵就是1个比特/位,抛256次的熵就是256个比特/位(这甚至都可以用来作为“理想”的比特币私钥)。

如果不去考虑复杂的定义、恼人的公式,“熵”其实就是那么简单,本文不想从学术上更深入的讨论熵,只想阐述一个对于密码学来说很重要的定律:
任何算法(包括那些符合密码学规范的伪随机数算法)只能是“维持”熵、甚至有可能会“降低”熵,但一定不能“增加”熵!

这一点至关重要,历史上发生过的无数次随机数问题(无论是否与比特币相关),基本上都源于对这一点的忽视。

以前段时间发生的 blockchain.info 的随机数问题为例,blockchain.info使用的 RC4 算法(http://en.wikipedia.org/wiki/RC4 因版权问题通常也被称为ARC4)是一个广泛使用的密码学算法,通常被用来生成伪随机数的信息流。ARC4算法有一个非常“好”的特性,即:只需要一个种子(哪怕这个种子只有两位,0和1),就能生成“无限多”的随机数,你只需要反复的对结果进行 ARC4 运算即可。

比如说,使用0或者1初始化 ARC4 数组,然后反复的进行 ARC4 运算,您都可以得到任意长度的数列,数列中的每一个元素都是0-255(8位)的数字,出于篇幅限制,小太在这里只运行了256次的 ARC4next 方法。
0 : [222,24,137,65,163,55,93,58,138,6,30,103,87,110,146,109,199,26,127,163,240,204,235,151,69,43,77,50,39,150,95,158,168,204,117,7,109,159,185,197,65,122,165,203,48,252,34,25,139,52,152,45,187,98,158,192,75,79,139,5,160,113,8,80,146,160,195,88,74,72,228,163,10,57,123,138,205,29,0,158,200,125,104,17,242,44,244,156,163,229,147,84,185,69,21,53,162,24,122,134,66,108,202,125,94,130,62,186,0,68,18,103,18,87,184,216,96,174,76,189,76,73,6,187,197,53,239,225,88,127,8,219,51,149,92,219,203,173,155,16,245,63,196,229,44,89,21,101,81,132,135,254,8,77,14,63,3,222,188,201,218,28,233,13,8,92,45,138,25,216,55,48,134,22,54,146,20,43,216,252,93,122,115,73,106,142,89,238,126,207,107,148,6,99,244,166,190,230,91,210,200,92,70,152,108,27,239,52,144,211,123,56,218,133,211,46,151,57,203,35,74,43,231,64,235,8,137,54,33,153,175,204,50,131,85,153,13,79,137,251,99,195,228,81,116,172,100,77,71,2,71,63,151,209,157,98]
1 : [6,8,14,14,24,32,41,41,57,51,73,87,102,118,135,131,161,181,202,224,247,102,17,124,76,104,133,163,194,226,163,73,108,38,57,127,166,206,23,65,224,71,165,211,186,87,52,103,128,180,137,239,127,183,151,209,60,44,48,147,210,142,207,149,216,104,173,167,238,239,94,230,67,143,76,236,63,143,154,197,12,17,10,119,104,46,106,197,42,3,171,116,97,215,94,138,225,97,198,118,100,125,26,61,58,230,88,198,0,112,124,71,207,55,97,128,47,75,153,130,158,95,117,7,105,226,176,130,239,90,49,125,20,247,71,95,234,13,154,98,178,210,63,236,243,36,147,202,101,88,53,9,222,9,250,163,15,184,130,181,167,249,231,37,187,125,231,174,239,43,92,255,255,154,201,48,177,206,22,183,105,92,9,8,94,51,211,200,121,189,64,9,97,248,174,13,201,173,209,196,15,129,227,3,127,184,41,69,165,199,122,90,33,63,21,160,164,205,37,93,222,211,137,199,18,135,107,7,83,10,230,113,108,41,195,34,181,63,68,164,52,214,97,63,178,22,55,192,80,153,210,224,91,240,104,165]

这个数列中的任意一段(32个元素即256位),都可以被用来作为比特币私钥或签名时使用的 k 值,他们看起来都很“随机”。可惜,无论您进行了怎样的运算,这个数列的熵都永远小于等于1个比特(即0和1)。也就是说,其它人,如果能覆盖全部的熵,进行相同的运算,也能够计算出您的全部私钥和全部 k 值。

blockchain.info 出问题时的熵是8个比特(0-255),也就是说,您只需要使用这256个数字作为种子,反复的进行 ARC4 运算,就能覆盖出问题的时间段里 blockchain.info 用户所使用的全部随机数(考虑到浏览器缓存和 CDN 缓存,问题时间段的长度可能是数周)。当然,您还可以基于代码进行一些优化,只考虑部分可能出现的情况,比如说每进行33次 ARC4next 生成一个随机数,或者是间隔256次 ARCnext 后再用33次 ARCnext 来生成一个随机数。

例如,上述种子0所对应的数组中,我们可以进行如下简单的计算:
1、取开头的33个元素:[222,24,137,65,163,55,93,58,138,6,30,103,87,110,146,109,199,26,127,163,240,204,235,151,69,43,77,50,39,150,95,158,168];
2、按照 blockchain.info 的算法(他们自己定义的 BigInteger 类型),将第一个元素替换为0,最后一个元素加1,即得到结果数组:[0,24,137,65,163,55,93,58,138,6,30,103,87,110,146,109,199,26,127,163,240,204,235,151,69,43,77,50,39,150,95,158,169];
3、使用这个结果数组可以得到一个 k 值:188941a3375d3a8a061e67576e926dc71a7fa3f0cceb97452b4d3227965f9ea9;
4、再使用 ECDSA 算法计算出该 k 值所对应的 r 值:0dcc0b9a668d4b7b8cbde71288bf32bb659bd7fda1b66172ce97fda6f8b0a06e;
5、这个 r 值在整个区块链的交易签名中一共出现过5次,这5笔交易所对应的私钥均已暴漏;
6、比如说,地址:19hXXVpwhmu1frqKwF1VZdNfqtGrMvg87n,交易 hash:b2b63f29c379ff830f45a5165b0e374093207ddca3e737562617c1d526ef4c65,该笔交易签名就是这个 r 值,利用区块链上的数据,任何人都能够很容易的计算出该地址的私钥:5JHyRh8hwyjWjt3RR3B9X6oJt9mzJZwFe8YnF7W22XcSHdD6rxK;
7、BOOM!

看到这里,您就该明白了,对于比特币所需要的随机数来说,仅仅使用密码学安全的伪随机数算法还是不够的,您需要的是“好的”、“足够”的熵(比特币需要的是256个比特/位),无论您使用的是哪种算法,永远要保证熵的品质,永远都不要降低熵。
最后说一句,比特币本身是安全的,不安全的是错误的解决方案和有问题的熵!

注:小太之前在 github 上开源的分析程序(https://github.com/bither/analyze)中就有完整的 ARC4 算法的实现,有兴趣的不妨自己动手试试,您也能算出很多已经被“碰撞”到的随机数哈。

作者:比太钱包
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